圆幂定理

圆幂定理　　圆幂定理圆幂的定义：
　　一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2
　　所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
　　圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。
　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
　　进一步升华（推论）：
　　过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
　　若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|
　　故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）

证明
　　圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）
　　相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
　　证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
　　∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD
　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD
　　证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD
　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
　　几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
　　∴PT^2=PA·PB（切割线定理）
　　推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
　　几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线
　　∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）
　　问题3：过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
　　证：以P为原点，设圆的方程为
　　(x-xO)^2+(y-yO)^2=a①
　　过P的直线为
　　x=k1t
　　y=k2t
　　则A、B的横坐标是方程
　　(k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2
　　即
　　(k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0
　　的两个根t1、t2。由韦达定理
　　t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2)
　　于是
　　PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2)
　　=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2|
　　=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)|
　　=|(xO^2+yO^2-r^2)|
　　为定值，证毕。
　　圆①也可以写成
　　x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′
　　其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。
　　这定值称为点P到这圆的幂。
　　在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。
　　如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB的方程为
　　②
　　③
　　是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离．
　　将②③代入①得
　　即
　　， 是它的两个根，所以由韦达定理
　　④
　　是定值
　　④是 关于①的幂（当 是原点时，这个值就是 ）．它也可以写成
　　④′
　　即 与圆心 距离的平方减去半径的平方．
　　当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。
　　以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．
　　问题4：自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相交于 ，如图８．求证 、 、 成调和数列，即
　　证：设圆的方程为
　　⑤
　　点 的坐标为 ， 的参数方程为
　　⑥
　　⑦
　　其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离．
　　⑥⑦代入⑤得
　　即
　　、 是它的两个根，由韦达定理
　　⑧
　　另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为
　　⑦⑧代入得
　　因此，这个方程的根 满足
　　⑨
　　综合⑧⑨，结论成立。
　　可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。
　　说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系。