圆周角　　

圆周角　　

圆周角概念
　　概念：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。（如图：角BPA）
圆周角角度及其推论
　　①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
　　②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
　　③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等
　　④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
　　⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
　　⑥圆心角所对的圆周角，当角的顶点在这个角所对的劣弧上时，解答就需要分情况证明，此时的圆周角不为圆心角的一半
　　圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
　　证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推理
　　圆周角推论1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
　　90°圆周角所对弦是直径.
　　(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90°圆周角,作其所对弦,即直径.)
　　圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
　　同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
　　命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与
　　点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
　　(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
　　命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差.
　　顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
　　(图略,证明略)
　　
例题  已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、AD为 弦，且AD平分∠BAC，若AB=10，AC= 6，
　　求AD的长.
　　解：连结BD并延长交AC的延长线于点E，连结BC
　　∵AB是⊙O的直径
　　∴∠ACB=∠ADB=90°
　　∴BC⊥AE，AD⊥BE
　　又∵AD平分∠BAC
　　∴AE=AB，DE=BD
　　
　　∵AB= 10，AC= 6 ∴CE= AE-AC= 4 ，
　　在Rt△ABC中 BC=8
　　在Rt△BCE中，BE=4√5
　　∴BD=2√5
　　在Rt△ABD中，
　　∴AD= 4√5