误差
误差
[编辑本段]释义
误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。
设被测量的真值（真正的大小）为a，测得值为x，误差为ε，则：
x－a=ε
误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。从实验的原理，实验所用的仪器及仪器的调整，到对物理量的每次测量，都不可避免地存在误差，并贯穿于整个实验始终。
测量值与真值之差异称为误差。
测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。测量时，造成误差的主要有系统误差和随机误差，而系统误差有下列情况：误读、误算、视差、刻度误差、磨耗误差、接触力误差、挠曲误差、余弦误差、阿贝 (Abbe) 误差、热变形误差等。系统误差的大小在测量过程中是不变的，可以用计算或实验方法求得，即是可以预测，并且可以修正或调整使其减少。这些因素归纳成五大类，详细内容叙述如下：
1. 人为因素
由于人为因素所造成的误差，包括误读、误算和视差等。而误读常发生在游标尺、分厘卡等量具。游标尺刻度易造成误读一个最小读数，如在10.00 mm处常误读成10.02 mm或9.98 mm。分厘卡刻度易造成误读一个螺距的大小，如在10.20 mm常误读成10.70 mm或9.70 mm。误算常在计算错误或输入错误数据时所发生。视差常在读取测量值的方向不同或刻度面不在同一平面时所发生，两刻度面相差约在0.3~0.4 mm之间，若读取尺寸在非垂直于刻度面时，即会产生 的误差量。为了消除此误差，制造量具的厂商将游尺的刻划设计成与本尺的刻划等高或接近等高，(游尺刻划有圆弧形形成与本尺刻划几近等高，游尺为凹V形且本尺为凸V形，因此形成两刻划等高。
2. 量具因素
由于量具因素所造成的误差，包括刻度误差、磨耗误差及使用前未经校正等因素。刻度分划是否准确，必须经由较精密的仪器来校正与追溯。量具使用一段时间后会产生相当程度磨耗，因此必须经校正或送修方能再使用。
3. 力量因素
由于测量时所使用接触力或接触所造成挠曲的误差。依据虎克定律，测量尺寸时，如果以一定测量力使测轴与机件接触，则测轴与机件皆会局部或全面产生弹性变形，为防止此种弹性变形，测轴与机件应采相同材料制成。其次，依据赫兹 (Hertz) 定律，若测轴与机件均采用钢时，其弹性变形所引起的误差量
应用量表测量工件时，量表固定于支持上，支架因被测量力会造成弹性变形，如图2-4-3所示，在长度 的断面二次矩为 ，长 的支柱为 ，纵弹性系数分别为 、 ，因此测量力为P时，挠曲量 为 。为了防止此种误差，可将支柱增大并尽量缩短测量轴线伸出的长度。除此之外，较大型量具如分厘卡、游标尺、直规和长量块等，因本身重量与负载所造成的弯曲。通常，端点标准器在两端面与垂直线平行的支点位置为0.577全长时，其两端面可保持平行，此支点称之为爱里点 (Airey Points) 。线刻度标准器支点在其全长之0.5594位置，其全长弯曲误差量为最小，此处称之为贝塞尔点 (Bessel Points)
4. 测量因素
测量时，因仪器设计或摆置不良等所造成的误差，包括余弦误差、阿贝误差等。余弦误差是发生在测量轴与待测表面成一定倾斜角度 ，如图2-4-5所示其误差量为 ， 为实际测量长度。通常，余弦误差会发生在两个测量方向，必须特别小心。例如测量内孔时，径向测量尺寸需取最大尺寸，轴向测量需取最小尺寸。同理，测量外侧时，也需注意取其正确位置。测砧与待测工件表面必须小心选用，如待测工件表面为平面时需选用球状之测砧、工件为圆柱或圆球形时应选平面之测砧。阿贝原理 (Abbe’ Law) 为测量仪器的轴线与待测工件之轴线需在一直在线。否则即产生误差，此误差称为阿贝误差。通常，假如测量仪器之轴线与待测工件之轴线无法在一起时，则需尽量缩短其距离，以减少其误差值。若以游标尺测量工件为例，如图2-4-6所示，其误差为 ，因此欲减少游标尺测量误差，需将本尺与游尺之间隙所造成之 角减小及测量时应尽量靠近刻度线。若以量表测量工件为例，如图2-4-7所示其量表之探针为球形，工件为圆柱，两轴心有偏位量 时，其接触的误差量为 。若量表之探针和工件均为平面时，若两平面倾斜一定角度 时，其接触的误差量为 如图2-4-8所示，此误差称为正弦误差。图2-4-9所示为凸轮在机构设计的误差分析图，为了减少磨损，常将从动件的端头设计成半径为 的圆球或圆柱体，两者间的压力角为 ，因此引起误差为 。
5. 环境因素
测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数 作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数 不同所造成的误差。常用各种材料的热膨胀系数如表2-4-2所示。通常，必须应用下列公式修正：CMR: 工件在 20℃时的长度
一、误差的产生
根据误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类。
1．系统误差
由于仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如，各种刻度尺的热胀冷缩，温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。
由于实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的考虑不周也会造成误差。例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。
由于测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在测量中造成误差。
以上都是造成系统误差的原因。系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。我们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因，采取适当措施降低它的影响。
2．偶然误差
在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素，会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测量点的位置不准确，实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、振动等因素的影响而产生微小变化，等等，这些因素的影响一般是微小的，而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找出原因加以排除。
但是实验表明，大量次数的测量所得到的一系列数据的偶然误差都服从一定的统计规律，这些规律有：
（1）绝对值相等的正的与负的误差出现机会相同；
（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
（2）误差不会超出一定的范围。
实验结果还表明，在确定的测量条件下，对同一物理量进行多次测量，并且用它的算术平均值作为该物理量的测量结果，能够比较好地减少偶然误差。
二、误差的表示
1．绝对误差
设某物理量的测量值为x,它的真值为a,则x－a=ε；由此式所表示的误差ε和测量值x具有相同的单位，它反映测量值偏离真值的大小，所以称为绝对误差。
有了绝对误差以后．通常把测量结果表示成 的形式，为多次测量的平均值。
2．相对误差
误差还有一种表示方法，叫相对误差，它是绝对误差与测量值或多次测量的平均值的比值，即或，并且通常将其结果表演示成非分数的形式，所以也叫百分误差。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而相对误差则可以比较不同测量结果的可靠性。例如，测量两条线段的长度，第一条线段用最小刻度为毫米的刻度尺测量时读数为10．3毫米，绝对误差为0．1毫米（值读得比较准确时），相对误差为0.97%，而用准确度为0．02毫米的游标卡尺测得的结果为10．28毫米，绝对误差为0．02毫米，相对误差为0．19%；第二条线用上述测量工具分别测出的结果为19．6毫米和19．64毫米，前者的绝对误差仍为0．1毫米，相对误差为0．51%，后者的绝对误差为0．02毫米，相对误差为0．1%。比较这两条线的测量结果，可以看到，用相同的测量工具测量时，绝对误差没有变化，用不同的测量工具测量时，绝对误差明显不同，准确度高的工具所得到的绝对误差小。然而相对误差则不仅与所用测量工具有关，而且也与被测量的大小有关，当用同一种工具测量时，被测量的数值越大，测量结果的相对误差就越小。
3.引用误差：仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比上仪表量程上限Am ，并用百分数表示。
最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am ，并用百分数表示。
4.标称误差
标称误差=（最大的绝对误差）/量程 x 100%
—测量仪器的〔示值〕误差
1.测量仪器的示值误差
是指“测量仪器示值与对应输入量的真值之差”(7.20条)。这是测量仪器的最主要的计量特性之一，其实质就是反映了测量仪器准确度的大小。示值误差大则其准确度低，示值误差小，则其准确度高。
示值误差是对真值而言的。由于真值是不能确定的，实际上使用的是约定真值或实际值。为确定测量仪器的示值误差，当其接受高等级的测量标准器检定或校准时，则标准器复现的量值即为约定真值，通常称为实际值，即满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。所以指示式测量仪器的示值误差=示值-实际值；实物量具的示值误差=标称值-实际值。例如:被检电流表的示值I为40A，用标准电流表检定，其电流实际值为Io=41A，则示值40A的误差Δ为
Δ=I-Io=40-41=-1A
则该电流表的示值比其真值小1A。如一工作玻璃量器的容量其标称值V为1000ml，经标准玻璃量器检定，其容量实际值Vo为1005ml，则量器的示值误差Δ为:
Δ=V-Vo=1000-1005=-5ml
即该工作量器的标称值比其真值小5ml。
要正确区别误差、偏差和修正值的概念。偏差是指“一个值减去其参考值”(5.17条)，对于实物量具而言，偏差就是实物量具的实际值对于标称值偏离的程度，即偏差=实际值-标称值。例如有一块量块，其标称值为10mm，经检定其实际值为10.1mm，则该量块的偏差为10.1-10=+0.1mm，说明此量块相对10mm标准尺寸大了0.1mm；则此量块的误差为示值(标称值)-实际值，即误差=10-10.1=-0.1mm，说明此量块比真值小了0.1mm，故此在使用时应加上0.1mm修正值。修正值是指为清除或减少系统误差，用代数法加到未修正测量结果上的值。从上可见这三个概念其量值的关系:误差=-偏差；误差=-修正值；修正值=偏差。在日常计算和使用时要注意误差和偏差的区别，不要相混淆。
测量仪器的示值误差可简称为测量仪器的误差，按照不同的示值、性质或条件，测量仪器的误差又具有专门的术语。如基值误差、零值误差、固有误差、偏移等。
2.〔测量仪器的〕基值误差
它是指“为核查仪器而选用在规定的示值或规定的被测量值处的测量仪器误差”(7.22条)。为了检定或校准测量仪器，人们通常选取某些规定的示值或规定的被测量值，则在该值上测量仪器的误差称为基值误差。
例如:选用规定的示值，如对普通准确度等级的衡器，载荷点50e和200e是必检的(e是衡器的检定分度值)，它们在首次检定时基值误差分别不得超过±0.5e和±1.0e。如对于中准确度等级的衡器，载荷点500e和2000e是必须检的，它们在首次时的基值误差分别不得超过±0.5e和±1.0e。规定被测量值，如对于标准热电偶的检定或分度，通常选用锌、锑及铜三个温度固定点进行示值检定或分度，则在此三个值上标准热电偶的误差，即为基值误差。测量仪器的基值误差可简称为基值误差。
3.〔测量仪器的〕零值误差
它是指“被测量为零值的基值误差”(7.23条)。是指被测量为零值时，测量仪器示值相对于标尺零刻线之差值。也可说是测量仪器零位，即当被测量值为零时，测量仪器的直接示值与标尺零刻线之差。通常在测量仪器通电情况下，称为电气零位，在不通电的情况下称为机械零位。零位在测量仪器检定或校准或使用时十分重要，因为它无需用标准器就能准确地确定其零位值，如各种指示仪表和千分尺、度盘秤等都具有零位调节器，可以作为检定或校准或用作使用者调整，以便确保测量仪器的准确度。
通常测量仪器零值误差均作为基值误差对待，因为零值对考核测量仪器的稳定性、准确度作用十分重要。测量仪器的零值误差可简称为零值误差。
4.〔测量仪器的〕固有误差
它是指“在参考条件下确定的测量仪器的误差”(7.24条)。固有误差通常也可称为基本误差，它是指测量仪器在参考条件下所确定的测量仪器本身所具有的误差。主要来源于测量仪器自身的缺陷，如仪器的结构、原理、使用、安装、测量方法及其测量标准传递等造成的误差。固有误差的大小直接反映了该测量仪器的准确度。一般固有误差都是对示值误差而言，因此固有误差是测量仪器划分准确度的重要依据。测量仪器的最大允许误差就是测量仪器在参考条件下，反映测量仪器自身存在的所允许的固有误差极限值。
提出固有误差这一术语是相对于附加误差而言的。附加误差就是测量仪器在非标准条件下所增加的误差。额定操作条件、极限条件等都属于非标准条件。非标准(即参考)条件下工作的测量仪器的误差，必然会比参考条件下的固有误差要大一些，这个增加的部分就是附加误差。它主要是由于影响量超出参考条件规定的范围，对测量仪器带来影响的所增加的误差，即属于外界因素所造成的误差。因此测量仪器使用时与检定、校准时因环境条件不同而引起的误差，就是附加误差；测量仪器在静态条件下检定、校准，而在实际动态条件下使用，则也会带来附加误差。测量仪器的固有误差又可简称为固有误差。
5.〔测量仪器的〕偏移、抗偏移性
测量仪器的偏移是指“测量仪器示值的系统误差”(7.25条)。人们在用测量仪器测量时，总希望得到真实的被测量值，但实际上多次测量同一个被测量时，得到的是不同的示值。由于测量仪器存在着误差，而形成测量仪器示值的系统误差分量，我们称之为测量仪器的偏移，又简称偏移。造成测量仪器的偏移原因是很多的，如仪器设计原理上的缺点，标尺、度盘安装不正确，使用时受到测量环境变化的影响，测量或安装方法的不完善，测量人员的因素以及测量标准器的传递误差等。测量仪器示值的系统误差，按其误差出现的规律，可分为定值系统误差和变值系统误差。有的系统误差分量是按线性变化、周期性变化或复杂规律变化的，为了确定测量仪器的偏移，通常用适当次数重复测量的示值误差的平均值来估计，这样可以排除测量仪器示值其随机误差的分量。由于存在着示值变值系统误差，因此，在确定测量仪器偏移时，应考虑不同的测量点即示值的不同范围。
测量仪器的偏移，直接影响着测量仪器的准确度，因为在大多数情况下，测量仪器的示值误差主要决定于系统误差，有时系统误差比随机误差往往会大一个数量级，为什么测量仪器要定期进行检定、校准，主要就是为了确定测量仪器示值误差的大小，并给以修正值进行修正，这就控制了测量仪器的偏移，确保了测量仪器的准确度。
测量仪器的抗偏移性是指“测量仪器给出不含系统误差的示值的能力”(7.26条)。测量仪器示值的系统误差是客观存在的，由于它直接影响着测量仪器的准确度，因此我们应尽力设法减小它，则测量仪器给出的示值不含系统误差的能力我们称之为测量仪器的抗偏移性，可简称抗偏移性。
不含系统误差是做不到的，但可以去减小它。实际上在测量仪器设计时必须考虑这一点，同时在测量仪器使用时也应考虑如何提高其抗偏移性。如从结构上保证指示器活动部分的平衡，可任意位置安装使用的仪器保证其内部零部件平衡配重，减少元器件随外界温度的影响等。有的仪器从测量方法上提高其抗偏移性，如千分尺、指示仪器的零位调整，要求仪器水平位置安放，甚至有的仪器带有水准泡，要求正确地安放被测件，有的选择适当的测量方法，使系统误差相互抵消，如采用交换法、替代法、补偿法、对称法等。当然还有一项十分重要的方法，就是让测量仪器定期开展检定、校准，确定测量仪器示值系统误差的大小，用修正值加以修正，这是提高抗偏移性的重要措施。
为了在测量前就将示值的系统误差产生的根源予以消除或减小，使用测量仪器的人员应对测量仪器中可能产生系统误差的环节进行仔细分析，并采取相应措施是十分重要的。
测量仪器的〕最大允许误差、引用误差
1.测量仪器的最大允许误差
是指“对给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值”(7.21条)。这是指在规定的参考条件下，测量仪器在技术标准、计量检定规程等技术规范上所规定的允许误差的极限值。这里规定的是误差极限值，所以实际上就是测量仪器各计量性能所要求的最大允许误差值。可简称为最大允许误差，也可称为测量仪器的允许误差限。最大允许误差可用绝对误差、相对误差或引用误差等来表述。
例如:测量范围为0～25mm，分度值为0.01mm的千分尺其示值的最大允许误差0级不得超过±2mm；1级不得超过±4mm。又如测量范围为25℃～50℃的分度值为0.05℃的一等标准水银温度计，其示值的最大允许误差为±0.10℃。如准确度等级为1.0级的配热电阻测温用动圈式测量仪表，其测量范围为0～500℃，则其示值的最大允许误差为500×1%=±5℃，则用引用误差表述。如非连续累计自动衡器(料斗秤)在物料试验中，对自动称量误差的评定则以累计载荷质量的百分比相对误差进行计算，准确度为0.2级、0.5级的则首次检定其自动称量误差不得超过累计载荷质量的±0.10%和±0.25%。最大允许误差是评定测量仪器是否合格的最主要指标之一，当然它也直接反映了测量仪器的准确度。
要区别和理解测量仪器的示值误差、测量仪器的最大允许误差和测量不确定度之间的关系。示值误差和最大允许误差均是对测量仪器本身而言，最大允许误差是指技术规范(如标准、检定规程)所规定的允许的误差极限值，是判定是否合格的一个规定要求，而示值误差是测量仪器某一示值其误差的实际大小，是通过检定、校准所得到的一个值，可以评价是否满足最大允许误差的要求，从而判断该测量仪器是否合格，或根据实际需要提供修正值，以提高测量仪器的准确度。测量不确定度是表征测量结果分散性的一个参数，它只能表述一个区间或一个范围，说明被测量真值以一定概率落于其中，它对测量结果而言，以判定测量结果的可靠性。可见最大允许误差、示值误差和测量不确定度它们具有不同的概念，前者相对测量仪器而言，后者相对测量结果而言，前者相对与真值(约定真值)之差，后者只是一个区间范围，前者可以对测量仪器的示值进行修正，后者无法对测量仪器进行修正。个人认为，可见测量不确定度概念不能完全代替测量仪器的误差，因为它无法得到修正值，作为测量仪器的特性，规定最大允许误差和通过检定、校准去确定示值误差，在实用上具有十分现实的意义。
2.〔测量仪器的〕引用误差
测量仪器的引用误差可简称为引用误差，它是指“测量仪器的误差除以仪器的特定值”(7.28条)。通常很多测量仪器是用引用误差来表示该测量仪器的允许误差限。特定值一般称为应用值，它可以是测量仪器的量程也可以是标称范围的上限或测量范围等。测量仪器的引用误差就是测量仪器的相对误差与其应用值之比。
误差的真值
实际上，真值是难于得到的，实际中，人们通常用两种方法来近似确定真值，并称之为约定真值。
一种方法是采用相应的高一级精度的计量器具所复现的被测量值来代表真值，
另一种方法是在相同条件下多次重复测量的算术平均值来代表真值。
另外在产品检测中，某项被测量的设计指标，既标称值视作已知真值，而测量值与标称值之差，就是产品制作误差（注意：这里的测量值与其算术平均值之差才是测量误差）。
理论值作为真值，如三角形内角和为180°
[编辑本段]数值计算中的误差
在数值计算中，为解决求方程近似值的问题，通常对实际问题中遇到的误差进行下列几类的区分：
模型误差：
在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，对问题作一些简化。因此数学模型和实际问题有一定的误差，这种误差称为模型误差。
测量误差：
在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的，由于精度的限制，这些数据一般是近似的，即有误差，这种误差称为测量误差。
截断误差：
由于实际运算只能完成有限项或有限步运算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化，对无穷过程进行截断，这样产生的误差成为截断误差。
舍入误差：
在数值计算过程中，由于计算工具的限制，我们往往对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作为该数的近似值，这种由舍入产生的误差成为舍入误差。
抽样误差
（一）抽样误差的概念
抽样误差：是指样本指标和总体指标之间数量上的差别，例如抽样平均数与总体平均数之差 、抽样成数与总体成数之差（p-P）等。
抽样调查中的误差有两个来源。
1、登记性误差，即在调查过程中，由于主客观原因而引起的误差。
2、代表性误差，即样本各单位的结构情况不足以代表总体特征而引起的误差。
代表性误差的发生有两种情况：
第一，非随机的代表性误差。
第二，随机性误差。
（二）抽样平均误差
抽样平均误差：是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。
抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。
（三）抽样极限误差
抽样极限误差：抽样估计时，应根据研究对象的差异程度和分析任务的需要来确定可允许的误差范围，这种允许的误差范围称为抽样极限误差。它小于或等于样本指标与总体指标之差的绝对值。
设Δx、Δp分别表示抽样平均数极限误差和抽样成数极限误差。则有：
Δx≤ Δp≤
上面不等式可变为下列不等式
≤ ≤ +Δx P-Δp≤p≤P+Δp
抽样平均数 是以总体平均数 中心在 之间变动，区间（ ）称为平均数的估计区间，区间总长度为2Δx，在这个区间内的抽样平均数与总体平均数的绝对离差不超过Δx。
抽样成数p是以总体成数P为中心，在p±Δp之间变动，抽样成数在（P-Δp，P+Δp）区间内与总体成数的绝对离差不超过Δp。
总全平均数 落在抽样平均数 的范围内，总体成数P落在抽样成数p±Δp的范围内即：
（四）影响抽样误差大小的因素
1．总体各单位标志值的差异程度。
2．抽样单位数的多少。
3．抽样方法。
4．抽样调查的组织形式。
（五）、简单随机抽样的抽样平均误差
1．抽样平均数的平均误差。若以μx表示抽样平均数的平均误差，即表示总体的标准差，根据定义：
=E
=
（1）在重置抽样的情况下，这时的样本变量x1，x2，…，xn是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。展开上式得：
=
x=
抽样平均数的平均误差为总体标准差的 ，抽样平均误差和总体标志变动度的大小成正比，而和样本单位数的平方根成反比。
举例说明：。
设有3个职工，其月工资分别为500、760、840元。现用重置抽样的方法从3个工人工资中随机抽取2人构成样本，并计算样本平均工资，以代表3人总体的平均工资。所有可能的样本以及平均工资及表7—1。
样本平均数的平均数E（ ）=
= (元)
抽样平均误差=
表7—1 工资抽样平均误差计算表
序号 样本变量x 样本平均数 平均数离差 离差平方
1 500500 500 -200 4000
2 500760 630 -70 4900
3 500840 670 -30 900
4 760500 630 -70 4900
5 760760 760 60 3600
6 760840 800 100 1000
7 840500 670 -30 900
8 840760 800 100 10000
9 840840 840 140 19600
若直接用3人工资计算总平均工资和工资的标准差，其结果为：
（元）
=
=145.4（元）
抽样平均误差为：
（元）
结论：第一，样本平均数的平均数 等于总体平均数，即 = ；
第二，抽样平均误差要比总体标准差小得多，仅为总体标准差的 。
（2）在不重置抽样的条件下，样本变量x1，x2，…，xn不是相互独立的，经过推导，得
在总体单位数N很大的情况下，μx，可以近似地用下式计算：
举例说明：
仍研究上述3个职工工资水平及其差异问题。假设用不重置抽样，从总体中抽取2个人的工资计算平均数（表7—2）。
抽样平均误差为： （元）
根据已经计算的总体 =700元
σ=145.14元
也可以按不重置抽样误差公式计算：
= =72.57（元）
表7—2 工资抽样误差计算表
序号 样本变量x 样本平均数 平均数离差 离差平方
1 500500 630 -70 4900
2 500760 670 -30 900
3 500840 630 -70 4900
4 760840 800 100 10000
5 840500 670 -30 900
6 840760 800 100 10000
两者的计算结果完全相同。由此可见，在不重置抽样的条件下，抽样平均数仍然等于总体平均数，而它的抽样平均误差72.57元比重置抽样平均误差102.63元小。
2、抽样成数的平均误差。
抽样成数的平均误差表明样本成数和总体成数的绝对离差的平均水平。根据抽样平均数和总体平均数的关系，可是E（p）=P，即抽样成数的平均数等于总体成数。根据抽样平均误差和总体标准差的关系，可较容易推出抽样成数的平均误差。
（1）在重置抽样的情况下。抽样成数的平均误差：
其中P为总体成数，n为样本单位数。
在总体单位数N很大的情况下， 可以近似地用下式计算：
举例说明：要估计某县10万家庭的电视机拥有率，随机抽取100户家庭，调查结果显示有85户拥有电视机，求拥有电视机的平均抽样误差。
根据已知条件可得：
p= 85/100 =0.85
σ=p(1-p)= 0.85×0.15=0.1275
在重置抽样下：
=0.0357
在不重置抽样下：
= =0.0357
计算结果表明，用样本的拥有率来估计总体的拥有率，其抽样误差平均说来为3.6%左右。